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Jul 10, 2024

La nouvelle forme mathématique « Einstein » crée un jamais

A new shape called an einstein has taken the math world by storm. The craggy, hat-shaped tile can cover an infinite plane with patterns that never repeat. Creatively tiling a bathroom floor isn’t just

Une nouvelle forme appelée Einstein a pris d’assaut le monde des mathématiques. Le carreau escarpé en forme de chapeau peut recouvrir un plan infini de motifs qui ne se répètent jamais.

Carreler de manière créative le sol d'une salle de bain n'est pas seulement une tâche stressante pour les rénovateurs bricoleurs. C’est aussi l’un des problèmes les plus difficiles en mathématiques. Depuis des siècles, les experts étudient les propriétés particulières des formes de carreaux capables de recouvrir des sols, des dosserets de cuisine ou des plans infiniment grands sans laisser de vide. Plus précisément, les mathématiciens s’intéressent aux formes de carreaux capables de couvrir tout le plan sans jamais créer de motif répétitif. Dans ces cas particuliers, appelés pavages apériodiques, il n'existe aucun modèle que vous puissiez copier et coller pour maintenir le pavage. Quelle que soit la façon dont vous découpez la mosaïque, chaque section sera unique.

Jusqu'à présent, les carrelages apériodiques nécessitaient toujours au moins deux carreaux de formes différentes. De nombreux mathématiciens avaient déjà abandonné l’espoir de trouver une solution avec une seule tuile, appelée l’insaisissable tuile « Einstein », qui tire son nom des mots allemands pour « une pierre ».

Puis, en novembre dernier, David Smith, ingénieur en systèmes d'impression à la retraite du Yorkshire, en Angleterre, a fait une percée. Il a découvert une forme escarpée à 13 côtés qui, selon lui, pourrait être une tuile d'Einstein. Lorsqu'il en a parlé à Craig Kaplan, informaticien à l'Université de Waterloo en Ontario, Kaplan a rapidement reconnu le potentiel de cette forme. En collaboration avec le développeur de logiciels Joseph Samuel Myers et le mathématicien Chaim Goodman-Strauss de l'Université de l'Arkansas, Kaplan a prouvé que la tuile singulière de Smith pavait effectivement le plan sans lacunes et sans répétition. Mieux encore, ils ont découvert que Smith avait découvert non seulement une mais une infinité de tuiles Einstein. L'équipe a récemment rendu compte de ses résultats dans un article publié sur le serveur de prépublication arXiv.org et qui n'a pas encore été évalué par des pairs.

Quiconque a parcouru les couloirs en mosaïque à couper le souffle du palais de l'Alhambra à Grenade, en Espagne, connaît le talent artistique impliqué dans le carrelage d'un avion. Mais une telle beauté recèle des questions sans réponse – qui sont, comme l’a déclaré le mathématicien Robert Berger en 1966, indémontrables.

Supposons que vous souhaitiez carreler une surface infinie avec un nombre infini de carreaux carrés. Vous devez cependant suivre une règle : les bords des carreaux sont colorés et seuls les bords de même couleur peuvent se toucher.

Avec des tuiles infinies, vous commencez à poser des pièces. Vous trouvez une stratégie qui, selon vous, fonctionnera, mais à un moment donné, vous vous retrouvez dans une impasse. Il y a un vide que vous ne pouvez tout simplement pas combler avec les tuiles dont vous disposez, et vous êtes obligé de placer des bords incompatibles les uns à côté des autres. Jeu terminé.

Mais certainement, si vous aviez le bon carreau avec la bonne combinaison de couleurs, vous auriez pu vous sortir du pétrin. Par exemple, vous n’aviez peut-être besoin que d’un seul carreau dont tous les bords étaient de la même couleur. Un mathématicien examinerait votre jeu et demanderait : « Pouvez-vous déterminer si vous vous retrouverez dans une impasse simplement en regardant les types de tuiles colorées qui vous ont été données au début ? Cela vous ferait certainement gagner beaucoup de temps.

Selon Berger, la réponse est non. Il y aura toujours des cas où vous ne pourrez pas prédire si vous pourrez couvrir la surface sans espaces. Le coupable : la nature imprévisible et non répétitive des carrelages apériodiques. Dans son travail, Berger a trouvé un ensemble incroyablement grand de 20 426 carreaux de couleurs différentes qui peuvent paver un plan sans que le motif de couleur ne se répète. Et mieux encore, il est physiquement impossible de former un motif répétitif avec cet ensemble de carreaux, quelle que soit la façon dont vous les posez.

Cette découverte a soulevé une autre question qui préoccupe depuis lors les mathématiciens : quel est le nombre minimum de formes de carreaux qui, ensemble, peuvent créer un pavage apériodique ?

Au cours des décennies qui ont suivi, les mathématiciens ont découvert des ensembles de carreaux de plus en plus petits permettant de créer des mosaïques apériodiques. Tout d’abord, Berger en a trouvé un avec 104 tuiles différentes. Puis, en 1968, l'informaticien Donald Knuth a trouvé un exemple avec 92. Trois ans plus tard, le mathématicien Raphael Robinson a trouvé une variante avec seulement six types de tuiles et finalement, en 1974, le physicien Roger Penrose a présenté une solution avec seulement deux tuiles.